使用向量方法推导点到直线的距离公式，我们可以按照以下步骤进行：
- 定义点和直线：
设直线 L 通过点 R(x1,y1)，其方向向量为 d=(m,n)。点 P(x0,y0) 是我们要找距离的点。 - 计算向量 PR：
向量 PR 是从点 P 到点 R 的向量，其坐标为 (x1−x0,y1−y0)。 - 计算向量 PR 在 d 上的投影：
投影的长度是 PR 与 d 的点积除以 d 的模长。即
ProjdPR=∣d∣PR⋅d=m2+n2(x1−x0)m+(y1−y0)n
- 计算 PQ：
因为 PQ 是 PR 减去 PR 在 d 上的投影，所以
PQ=PR−ProjdPR
- 计算 ∣PQ∣：
使用向量模长的公式，我们有
∣PQ∣=(x1−x0−m2+n2(x1−x0)m+(y1−y0)n)2+(y1−y0−m2+n2(x1−x0)m+(y1−y0)n)2
- 简化公式：
经过化简，我们得到
∣PQ∣=m2+n2∣(x1−x0)n−(y1−y0)m∣
- 使用直线方程：
如果直线 L 的方程是 Ax+By+C=0，则 A=−m,B=−n,C=mx1+ny1。将这些值代入上面的公式，我们得到
∣PQ∣=A2+B2∣Ax0+By0+C∣
这就是使用向量方法推导的点到直线的距离公式。这个公式告诉我们，点到直线的距离等于点到直线上某一点的向量在直线方向向量上的投影的模长的负值。
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